Ορισμοί

Επαναληπτικές συναρτήσεις

Η σύνθεση μιγαδικών συναρτήσεων της μορφής f(z) = z * z δημιουργεί δυναμικά συστήματα. Για παράδειγμα:

η f(f(z)) "μεταφέρει" το i στο 1 σε δύο βήματα.
η f(f(z)) "μεταφέρει" το i + 1 στο -4 σε δύο βήματα.
η f(f(f(z))) "μεταφέρει" το 1 + i στο 16 σε τρία βήματα.

Η συμπεριφορά της συνάρτησης σε επαναλαμβανόμενες συνθέσεις της εκφράζει τη δυναμική της. Τα σύνολα Mandelbrot και Julia μας δίδουν πληροφορίες για τη δυναμική συμπεριφορά συναρτήσεων της μορφής f(z) = z*z

Τροχιές

Κατά την επανάληψη της f(z) κάθε σημείο ακολουθεί μια τροχιά.
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
- Τα σημεία μέσα στον κύκλο με ακτίνα 1 τείνουν στο 0.
- Τα σημεία έξω από τον κύκλο με ακτίνα 1 τείνουν στο άπειρο.
- Τέλος, τα σημεία πάνω στον κύκλο με ακτίνα 1 μπορεί να:
  - Τερματίζουν στο 1.
  - Ακολουθουν μια περιοδική τροχιά.
  - Ακολουθουν μια μη περιοδική, μη τερματιζόμενη τροχιά.

Το σύνολο Julia

Ορίζουμε ως σύνολο Julia μιας συνάρτησης f το σύνολο των τιμών οι οποίες για την επαναλαμβανόμενη σύνθεση της f δεν αποτελούν σταθερά ελκτικά σημεία ή σημεία περιοδικής τροχιάς.
Για τη συνάρτηση f(z) = z * z το σύνολο αυτό βρίσκεται στον κύκλο με ακτίνα 1.

Το σύνολο Mandelbrot

Τέλος, ορίζουμε ως σύνολο Mandelbrot το σύνολο των σημείων c για τα οποία το σύνολο Julia της συνάρτησης f(z) = z * z + c είναι "συνδεδεμένο".