Εξερεύνηση δυναμικών συστημάτων (1997)

Διομήδης Σπινέλλης
Τμήμα Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
dds@aueb.gr

Ορισμοί

Επαναληπτικές συναρτήσεις

Η σύνθεση μιγαδικών συναρτήσεων της μορφής f(z) = z * z δημιουργεί δυναμικά συστήματα. Για παράδειγμα:

η f(f(z)) "μεταφέρει" το i στο 1 σε δύο βήματα.
η f(f(z)) "μεταφέρει" το i + 1 στο -4 σε δύο βήματα.
η f(f(f(z))) "μεταφέρει" το 1 + i στο 16 σε τρία βήματα.

Η συμπεριφορά της συνάρτησης σε επαναλαμβανόμενες συνθέσεις της εκφράζει τη δυναμική της. Τα σύνολα Mandelbrot και Julia μας δίδουν πληροφορίες για τη δυναμική συμπεριφορά συναρτήσεων της μορφής f(z) = z*z

Τροχιές

Κατά την επανάληψη της f(z) κάθε σημείο ακολουθεί μια τροχιά.
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
- Τα σημεία μέσα στον κύκλο με ακτίνα 1 τείνουν στο 0.
- Τα σημεία έξω από τον κύκλο με ακτίνα 1 τείνουν στο άπειρο.
- Τέλος, τα σημεία πάνω στον κύκλο με ακτίνα 1 μπορεί να:
  - Τερματίζουν στο 1.
  - Ακολουθουν μια περιοδική τροχιά.
  - Ακολουθουν μια μη περιοδική, μη τερματιζόμενη τροχιά.

Το σύνολο Julia

Ορίζουμε ως σύνολο Julia μιας συνάρτησης f το σύνολο των τιμών οι οποίες για την επαναλαμβανόμενη σύνθεση της f δεν αποτελούν σταθερά ελκτικά σημεία ή σημεία περιοδικής τροχιάς.
Για τη συνάρτηση f(z) = z * z το σύνολο αυτό βρίσκεται στον κύκλο με ακτίνα 1.

Το σύνολο Mandelbrot

Τέλος, ορίζουμε ως σύνολο Mandelbrot το σύνολο των σημείων c για τα οποία το σύνολο Julia της συνάρτησης f(z) = z * z + c είναι "συνδεδεμένο".

Παράσταση του συνόλου Mandelbrot

Το σύνολο Mandelbrot μπορεί εύκολα να βρεθεί εξετάζοντας για κάθε c την τροχιά του σημείου z = 0:
- Αν αυτή βγει έξω από κύκλο με κέντρο το 0 και ακτίνα 2 τότε θα τείνει στο άπειρο, το αντίστοιχο σύνολο Julia δε θα είναι συνδεδεμένο και άρα το σημείο δεν ανήκει στο σύνολο.
Ο αριθμός των επαναλήψεων της f μέχρι η τιμή της να βγει έξω από την ακτίνα 2 ορίζει μια περιοχή προσέγγισης στο σύνολο Mandelbrot και μπορεί να παρασταθεί στην οθόνη του υπολογιστή με αντίστοιχο χρώμα.

Βιβλιογραφία

H.-O. Peitgen and P. H. Richter The beauty of fractals: images of complex dynamical systems Springer-Verlag publ., 1986

Ασκήσεις

Pascal 07

Να γραφεί πρόγραμμα σε Pascal σύμφωνα με τις παρακάτω προδιαγραφές:
- Το πρόγραμμα σχεδιάζει το σύνολο Mandelbrot και τις περιοχές προσέγγισης για κάποια καθορισμένη περιοχή του επιπέδου των μιγαδικών και μέγιστο αριθμό επαναλήψεων.
- Αν το μέτρο της f(z) για το σημείο c αποκτήσει τιμή μεγαλύτερη του 2 μετά από ορισμένες επαναλήψεις τότε το σημείο ζωγραφίζεται με χρώμα ανάλογο του αριθμού των επαναλήψεων.
- Αρχικές συνταταγμένες δοκιμής είναι -2 + -2i μέχρι 2 + 2i για 50 επαναλήψεις.
Σχεδιάστε το σύνολο με κέντρο το 0.4445568792550437+0.4099331083009843i, ακτίνα 0.1 για 240 επαναλήψεις (προαιρετικά).
Σχεδιάστε το σύνολο με κέντρο το -0.6356170288412094+0.4919204152038624i, ακτίνα 0.075 για 240 επαναλήψεις (προαιρετικά).
Σχεδιάστε το σύνολο με κέντρο το -1.2963551381730362+0.4418516057351966i, ακτίνα 0.175 για 240 επαναλήψεις (προαιρετικά).
Σχεδιάστε το σύνολο με κέντρο το -1.25+0i, ακτίνα 0.153 για 1920 επαναλήψεις (προαιρετικά).
Σχεδιάστε το σύνολο με κέντρο το 1.309375+0i, ακτίνα 0.094 για 2480 επαναλήψεις (προαιρετικά).
Εξερευνήστε το σύνολο σε άλλες περιοχές (προαιρετικά).

Σημείωση: Όπου ο αριθμός των επαναλήψεων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των χρωμάτων (GetMaxColor) ο αριθμός αυτός πρέπει να προσαρμόζεται κατάλληλα για να είναι νόμιμο χρώμα με τη χρήση των τελεστών mod ή div. Περισσότερες λεπτομέρειες για τις ασκήσεις

Περιεχόμενα